Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano che ha per ascissa la retta temporale (t) e per ordinata lo spazio unidimensionale (s), infatti la strada che percorre lo scalatore la consideriamo unidimensionale se no sarebbe possibile, anzi probabile, che il punto esatto neanche esista (potrebbe essere qualche passo più a destra o sinistra).
Nell'asse t scegliamo il punto t_0 che rappresenta le ore 6,00 del primo giorno (inizio salita), il punto t_1 che rappresenta le ore 18,00 del primo giorno (fine salita), il punto t_2 che rappresenta le ore 6,00 del secondo giorno (inizio discesa) e il punto t_3 che rappresenta le ore 18,00 del secondo giorno (fine discesa); nell'asse s scegliamo il punto s_0 che rappresenta il punto di partenza della salita (punto di arrivo della discesa) e s_1 che rappresenta il punto di arrivo della salita (punto di partenza della discesa).
Lo scalatore il primo giorno parte da (t_0, s_0) e arriva a (t_1, s_1), il secondo giorno parte da (t_2, s_1) e arriva a (t_3, s_0). Possiamo quindi considerare la scalata tutta come una funzione in questo piano tempo/spazio.
Consideriamo solo i due intervalli (t_0 ,t_1)x(s_0, s_1) e (t_2, t_3)x(s_0, s_1), la funzione del primo intervallo (funzione salita) la chiamiamo f e la funzione del secondo intervallo (funzione discesa) la chiamiamo g.
Avendo il codominio in comune (la lunghezza della strada), vediamo che il dominio delle due funzione è di uguale ampiezza (il tempo percorso), cioè t_1-t_0=t_3-t_2, quindi con una traslazione possiamo portare a far coincidere t_0=t_2 e t_3=t_4. In questo modo stiamo considerando che lo scalatore stesse percorrendo contemporaneamente la salita e la discesa iniziando proprio alle 6,00 e finendo alle 18. Così ad ogni istante t_h si trova f(t_h)=s_h' e g(t_h)=s_h'' che sono rispettivamente il punto della salita e il punto della discesa in cui si trovava lo scalatore all'istante h. Quello che vogliamo provare è che c'è un punto del tempo t_x in cui le due funzioni coincidono, cioè f(t_x)=g(t_x)=s_x, questo significherebbe che allo stesso istante della salita e della discesa lo scalatore si trova allo stesso punto.
Sappiamo anche che le due funzioni sono continue, infatti presi due qualunque punti del tempo o dello spazio esisteranno sempre infiniti punti del tempo o dello spazio compresi in quei due punti.
Ecco un grafico illustrativo:
In definitiva dobbiamo provare la seguente proposizione:
Siano f e g funzioni continue con stesso dominio (t_0, t_1) e codominio (s_0, s1).
Ipotesi:
f(t_0)=g(t_1)=s_0 (il punto iniziale della salita è uguale al punto finale della discesa, il primo alle ore 6,00, il secondo alle 18,00);
g(t_0)=f(t_1)=s_1 (il punto iniziale della discesa è uguale al punto finale della salita, il primo alle ore 6,00, il secondo alle 18,00).
Tesi: Esiste un punto t_x appartenente all'interno dell'intervallo (t_0, t_1) tale che
f(t_x)=g(t_x) .
Dimostrazione:
Sappiamo che s_0<s_1 (cioè il punto arrivo è più lontano dal punto di partenza), quindi facendo le opportune sostituzioni vediamo che f(t_0)<g(t_0) e che f(t_1)>g(t_1), entrambe significano che s_0<s_1.
Portando a primo membro otteniamo:
f(t_0)-g(t_0)<0
f(t_1)-g(t_0)<0
Denotiamo con h(t) la funzione f(t)-g(t), quindi avremo:
h(t_0)<0 e h(t_1)>0.
Per il teorema di esistenza degli zeri di una funzione (corollario del teorema di esistenza dei valori intermedi), sappiamo che esiste un t_x appartenente all'interno dell'intervallo (t_0, t_1) tale che h(t_x)=0.
Quindi 0=h(t_x)=f(t_x)-g(t_x) da cui segue che f(t_x)-g(t_x)=0, cioè f(t_x)=g(t_x) che è la tesi.
Osservazione: Dal momento che lo scalatore non torna mai indietro e anche il tempo ovviamente va sempre in avanti possiamo dire anche che le due funzioni sono una monotona non decrescente (la f, salita) e una monotona non crescente (la g, discesa).
Ma questa è una informazione in più che non ci è servita nella dimostrazione, quindi la proposizione che abbiamo dimostrato vale anche se lo scalatore ogni tanto fa qualche passo indietro, l'importante che non esce dagli intervalli.
Addirittura varrebbe ugualmente la stessa tesi anche se il tempo non fosse uniforme, cioè anche se andasse a volte più velocemente e a volte più lentamente, perfino nel caso in cui il tempo andasse all'indietro, sempre con la condizione che non esca dagli intervalli considerati.
Poi magari c'era una dimostrazione più veloce, ma mi è venuta solo questa in mente e ammetto che l'illuminazione di considerare la funzione h mi è venuta con qualche minuto di ritardo